3 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как найти вероятность чего либо. Вероятность события

Вероятность события. Классическое определение

Вероятность события количественно характеризует возможность (шанс) осуществления этого события в ходе случайного эксперимента. В данном параграфе мы начинаем изучать возможности, предоставляемые теорией вероятности для сравнительного анализа ситуаций, возникающих при различных комбинациях равновероятных событий.

Представим, что у нас проводится эксперимент с пространством из n элементарных исходов, которые равновероятны. Элементарные исходы являются несовместными событиями (напомним, что несовместные события — это те, которые не могут произойти одновременно), поэтому вероятность каждого из них равна 1/n. Допустим, нас интересует событие А, которое наступает только при реализации благоприятных элементарных исходов, количество последних m (m

Пример 3. Бросается игральная кость. Чему равны вероятности следующих событий:

Решение: n = 6. Событию А благоприятствует один исход, событию В — три исхода, событию С — два исхода. Таким образом,



Иногда в задачах число элементарных исходов бывает так велико, что выписать их все не представляется возможным. Поэтому применяются формулы из комбинаторики (см. §2).

Пример 4. Из колоды в 36 карт вытаскивают три. Какова вероятность того, что среди вынутых карт нет десяток?

Решение: В этом примере элементарным исходом является случайный набор из трех карт. Общее число элементарных исходов равно N=C36 3 , элементарные исходы считаем равновозможными. Благоприятных исходов (количество возможных наборов по три карты из той же колоды, но без десяток)
m=C32 3 . Таким образом, вероятность события A <Вынуто 3 карты из 36 и среди них нет десяток>:

Задачи для самопроверки

1. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А-сумма выпавших очков равна 8; В-произведение выпавших очков равно 8.

Общее число исходов: n=6х6=36, число благоприятных исходов события А [2,6] ,[3,5], [4,4], [5,3], [6,2] m=5, искомая вероятность р=m/n=5/36. Для события В благоприятные исходы: [2,4], [4,2], т.е. m=2 и искомая вероятность р=m/n=2/36=1/18.

2. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется разыскиваемая.

Разложим все 100 фотокарточки в 10 конвертов поровну. Вероятность взять конверт с искомой фото р=1/10.

3. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

На первом месте у этого трехзначного число может быть любая из 10 цифр от 0 до 9, на втором только 9 цифр, т.к. цифры не повторяются и на третьем 8 цифр, всего n=10x9x8=720, это общее число исходов, благоприятный исход один m=1, поэтому р=m/n=1/720.

Высшая математика и экономика

Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

Решения типовых задач — Теория вероятностей

Случайные события. Вероятность события

Классическое определение вероятности
Вероятностью события А Р(A) называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех единственно возможных и равновозможных элементарных исходов n, Р(A)=.

Читать еще:  Тициан биография. Краткая биография тициана вечелли

Из 20 экзаменационных билетов 3 содержат простые вопросы. Пять студентов по очереди берут билеты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется билет с простыми вопросами.

Решение:

Для начала найдем вероятность того, что ни одному из студентов не достанется билет с простыми вопросами.
Эта вероятность равна

Первая дробь показывает вероятность того, что первому студенту достался билет со сложными вопросами (их 17 из 20)
Вторая дробь показывает вероятность того, что второму студенту достался билет со сложными вопросами (их осталось 16 из 19)
Третья дробь показывает вероятность того, что третьему студенту достался билет со сложными вопросами (их осталось 15 из 18)
И так далее до пятого студента. Вероятности перемножаются т.к. по условию требуется одновременное выполнение этих условий.

Чтобы получить вероятность того, что хотя бы одному из студентов достанется билет с простыми вопросами надо вычесть полученную выше вероятность из единицы.

Задача2
Из множества всех последовательностей длины 10, состоящих из цифр 0; 1; 2; 3, наудачу выбирается одна. Какова вероятность того, что выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности. Решение

Вероятность события A – «Выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности», согласно классическому определению, равна P(A) = , где n – полное число равновероятных исходов; m – число исходов, благоприятствующих событию A.

Число способов заполнить 10 позиций в последовательности цифрами 0; 1; 2; 3 составляет, с учетом возможности повторения цифр, n = 410 = 220 = 1048576.

Число способов разместить 5 нулей на 10 позициях в последовательности при условии, что нули обязательно находятся на первом и десятом месте в последовательности, равно числу способов разместить три нуля на восьми свободных позициях в последовательности и равно числу сочетаний из 8 элементов по 3: = = 56.

Оставшиеся 8 – 3 = 5 позиций в последовательности будут заполнены цифрами 1; 2; 3. Число способов осуществить это, с учетом возможности повторения, равно 35 = 243.

Т.о., число исходов, благоприятствующих событию A, равно m = ×35 = 56×243 = 13608.
Искомая вероятность события A равна:
P(A) = = 0,013.
Ответ: P(A) = = 0,013.

Задача 3.
Имеется 100 одинаковых деталей, среди которых 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь без брака.

Решение. В этой задаче производится испытание – извлекается одна деталь. Число всех исходов испытания равно 100, т. к. может быть взята любая деталь из 100. Эти исходы несовместны, равновозможны, единственно возможны. Таким образом, Событие — появилась деталь без брака. Всего в партии 97 деталей без брака, следовательно, число исходов, благоприятных появлению события А равно 97 . Итак, Тогда
Задача 4.
Код банковского сейфа состоит из 6 цифр. Найти вероятность того, что наудачу выбранный код содержит различные цифры? Решение. Так как на каждом из шести мест в шестизначном шифре может стоять любая из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных шестизначных номеров по правилу произведения будет . Номера, в которых все цифры различны, — это размещения из 10 элементов (10 цифр) по 6. Поэтому число благоприятствующих исходов . Искомая вероятность равна
Задача 5.
Между шестью фирмами (А, Б, В, Г, Д, Е), занимающимися продажей компьютерной техники, проводится жеребьевка на предмет очередности предъявления своей продукции на выставке потенциальным потребителям. Какова вероятность того, что очередь будет выстроена по порядку, т. е. А, Б, В, Г, Д, Е? Решение. Исход испытания — случайное расположение фирм в очереди. Число всех возможных исходов равно числу всех перестановок из шести элементов (фирм), т.е.Число исходов, благоприятствующих событию : m=1, если очередь выстроена по порядку. Тогда
Задача 6.
В компании 10 акционеров, из них трое имеют привилегированные акции. На собрание акционеров явилось 6 человек. Найти вероятность того, что среди явившихся акционеров:
а) все трое акционеров с привилегированными акциями отсутствуют;
б) двое присутствуют и один не явился. Решение
а) испытанием является отбор 6 человек из 10 акционеров. Число всех исходов испытания равно числу сочетаний из 10 по 6, т. е.

Пусть событие — среди шести человек нет ни одного с привилегированными акциями. Исход, благоприятствующий событию ,- отбор шести человек среди семи акционеров, не имеющих привилегированных акций. Число всех исходов, благоприятствующих событию А, будет
Искомая вероятность

б) пусть событие — среди шести явившихся акционеров двое с привилегированными акциями, а остальные четыре – с общими акциями. Число всех исходов, Число способов выбора двух человек из необходимых трех Число способов выбора оставшихся четырех акционеров среди семи с общими акциями Тогда число всех способов отбора по правилу произведения
Искомая вероятность равна

Читать еще:  Какого числа был финал евровидения.

Классическое определение вероятности

Случайный эксперимент. Множество элементарных исходов. Случайные события

Теория вероятностей — это раздел математики, посвященный изучению математических моделей случайных экспериментов, то есть таких экспериментов, результаты которых заранее неизвестны.

Например, одним из случайных экспериментов, часто используемых в теории вероятностей, является подбрасывание игральной кости. Результатом этого случайного эксперимента будет количество выпавших очков.

Напомним, что игральная кость – это кубик из однородного материала, грани которого пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 при помощи нанесенных на грани кубика точек.

Множество всех возможных результатов случайного эксперимента называют множеством элементарных событий . Это множество принято обозначать заглавной греческой буквой Ω . Элементы множества Ω называют элементарными событиями .

Элементарные события часто называют элементарными исходами или, просто, исходами , а множество всех элементарных событий называют пространством элементарных событий, множеством элементарных исходов или пространством элементарных исходов.

В теории вероятностей случайными событиями являются подмножества множества элементарных исходов Ω . Например, в классическом определении вероятности событием является каждое подмножество множества элементарных событий Ω . В более сложных вероятностных моделях событиями являются не все подмножества Ω , а только часть из них.

Случайные события часто для простоты называют событиями.

Классическое определение вероятности

Если в результате случайного эксперимента может реализоваться один из нескольких равновозможных вариантов, то используют классическое определение вероятности .

Классическое определение вероятности является краеугольным камнем теории вероятностей и вводится в соответствии со следующей схемой.

Определяется множество элементарных событий (результаты случайного эксперимента).

В классическом определении вероятности в качестве множества элементарных событий Ω используют произвольное множество, состоящее из конечного числа элементов. Элементы множества Ω ( элементарные события) обозначают

где N – число элементов множества Ω .

Вероятность каждого элементарного события полагают равной

Читать еще:  Ф а абрамов биография кратко. Успех в Европе

и обозначают буквой P . Таким образом,

Определяются случайные события .

Пустым множеством называют множество, в котором нет ни одного элемента. Пустое множество содержится в любом множестве, то есть является подмножеством любого множества.

В классическом определении вероятности в качестве случайных событий используются всевозможные подмножества множества Ω , включая пустое множество и все множество Ω .

Случайные события принято обозначать буквами A , B , C , .

Определяется вероятность каждого случайного события .

Если A – случайное событие, то вероятность события A полагают равной числу

где через m обозначено количество элементарных событий, входящих в множество A .

Вероятность случайного события A принято обозначать P (A) .

Таким образом, справедливо равенство

причем, поскольку числитель в правой части формулы (1) не превосходит знаменателя, то вероятность любого случайного события A заключена в пределах

В частности, если или A = Ω , то справедливы равенства

Замечание . При вычислении вероятности события A элементарные события, входящие в событие A , называют благоприятными исходами и формулу (1) записывают в виде

Примеры решения задач

Пример 1 . Эксперимент состоит в подбрасывании игральной кости один раз. Описать схему введения классического определения вероятности для этого эксперимента.

Решение . Обозначим через ωk событие, состоящее в том, что при подбрасывании игральной кости выпадает число k . Тогда элементарные события

составляют множество элементарных событий Ω :

Поскольку множество Ω состоит из 6 элементов, то вероятность каждого элементарного события равна :

Каждое случайное событие является подмножеством Ω и состоит из нескольких элементарных событий. Так, например, случайное событие

состоит из трех элементарных событий

В силу формулы (4) справедливо равенство

Пример 2 . Эксперимент состоит в подбрасывании монеты один раз. Описать схему введения классического определения вероятности для этого эксперимента.

Решение . Обозначим русскими буквами Г и Ч элементарные события, состоящие в том, что при подбрасывании монеты выпадают герб ( Г ) или число ( Ч ) соответственно. Тогда

Пример 3 . Найти вероятность того, что при однократном подбрасывании двух игральных костей сумма выпавших чисел будет больше, чем 8 .

Решение . Сформируем следующую таблицу, в которой записаны всевозможные суммы чисел, выпавших при подбрасывании двух игральных костей. Первая строка таблицы – это числа, выпавшие при бросании первой кости, а первый столбец таблицы – это числа, выпавшие при бросании второй кости. На пересечении строки и столбца указана сумма чисел, выпавших на двух костях.

Источники:

http://www.mathelp.spb.ru/book2/tv4.htm
http://www.matem96.ru/primer/primer_terver1.shtml
http://www.resolventa.ru/spr/probability/probability_classic.htm

Ссылка на основную публикацию
Статьи c упоминанием слов:
Adblock
detector